El aviso de nueva versión disponible lo puede ver cualquiera que tenga la opción de registro a tu WordPress. Quizás no quieras que el mismo figure, asi que con un simple plugin llamado Disable WordPress Core Update . Eso si, tampoco el administrador del sitio podrá ver el anuncio asà que mas vale que seas atento a las actualizaciones.
Pero tenemos otro modo de hacerlo, según nos explica la gente de  Yoast podemos editar nuestra plantilla functions.php agregando lo siguiente:
if ( !current_user_can( 'edit_users' ) ) {
add_action( 'init', create_function( '$a', "remove_action( 'init', 'wp_version_check' );" ), 2 );
add_filter( 'pre_option_update_core', create_function( '$a', "return null;" ) );
}
Esto mostrará la leyenda al administrador pero no a los demás usuarios usuarios.
Si deseás que cierto usuario en particular pueda ver la leyenda, se puede probar del siguiente modo (ejemplo con user admin).
global $user_login , $user_email;
get_currentuserinfo();
if ($user_login == "admin") {
add_action( 'init', create_function( '$a', "remove_action( 'init', 'wp_version_check' );" ), 2 );
add_filter( 'pre_option_update_core', create_function( '$a', "return null;" ) );
}
Espero que les sirva!